Десяткові дроби і дії з ними. Поділ і множення десяткових дробів

Десятковий дріб використовується, коли потрібно виконувати дії з нецілими числами. Це може здатися нераціональним. Але такий вид чисел істотно полегшує математичні операції, які з ними необхідно виконувати. Це розуміння приходить з часом, коли їхній запис стає звичним, а прочитання не викликає труднощів, і освоєні правила десяткових дробів. Тим більше що всі дії повторюють вже відомі, які засвоєні з натуральними числами. Тільки потрібно запам 'ятати деякі особливості.

Визначення десяткового дробу

Десятковий дріб - це особливе уявлення нецілого числа зі знаменником, який ділиться на 10, а відповідь виходить у вигляді одиниці і, можливо, нулів. Іншими словами, якщо в знаменнику 10, 100, 1000 і так далі, то зручніше переписати число з використанням коми. Тоді до неї буде розташована ціла частина, а потім - дробова. Причому запис другої половини числа залежатиме від знаменника. Кількість цифр, які знаходяться в дробовій частині, має бути дорівнює розряду знаменника.

Проілюструвати вищесказане можна цими числами:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Причини, через які знадобилося застосування десяткових дробів

Математикам потрібні були десяткові дроби з кількох підстав:

1. Спрощення запису. Такий дріб розташований уздовж однієї лінії без чорточки між знаменником і числівником, при цьому наочність не страждає.
2. Простота в порівнянні. Досить просто співвіднести цифри, що знаходяться в однакових позиціях, в той час як з звичайними дробами довелося б приводити їх до спільного знаменника.
3. Спрощення обчислень.
4. Калькулятори не розраховані на введення звичайних дробів, вони для всіх операцій використовують десятковий запис чисел.

Як правильно прочитати такі числа?

Відповідь проста: так само, як звичайне змішане число зі знаменником, кратним 10. Виняток становлять тільки дроби без цілого значення, тоді при читанні потрібно вимовляти "нуль цілих".

Наприклад, 45/1000 потрібно вимовити як сорок п 'ять тисячних, в той же час 0,045 буде звучати як нуль цілих сорок п' ять тисячних.

Змішане число з цілою частиною рівного 7 і дробом 17/100, що запишеться як 7,17, в обох випадках буде прочитано як сім цілих сімнадцять сотих.

Роль розрядів у записі дробів

Вірно відзначити розряд - це те, що вимагає математика. Десяткові дроби та їх значення можуть істотно змінитися, якщо записати цифру не в тому місці. Втім, це було справедливо і раніше.

Для прочитання розрядів цілої частини десяткового дробу потрібно просто скористатися правилами, відомими для натуральних чисел. А в правій частині вони дзеркально відображаються і по-іншому читаються. Якщо в цілій частині звучало "" десятки "", то після коми це будуть вже "" десяті "".

Наочно це можна побачити в цій таблиці.

Таблиця розрядів десяткового дробу

Як правильно записати змішане число десятковим дробом?

Якщо у знаменнику стоїть число, рівне 10 або 100, та інші, то питання про те, як дріб перевести в десятковий, нескладне. Для цього достатньо по-іншому переписати всі її складові частини. У цьому допоможуть такі пункти:

• трохи осторонь написати чисельник дробу, в цей момент десяткова кома розташовується праворуч, після останньої цифри;
• перемістити ком ліворуч, тут найголовніше - правильно порахувати цифри - пересунути її потрібно на стільки позицій, скільки нулів у знаменнику;
• якщо їх не вистачає, то на порожніх позиціях повинні опинитися нулі;
• нулі, які були в кінці числівника, тепер не потрібні, і їх можна закреслити;
• перед комою приписати цілу частину, якщо її не було, то тут теж виявиться нуль.

Увага. Не можна закреслювати нулі, які виявилися оточені іншими цифрами.

Про те, як бути в ситуації, коли в знаменнику число не тільки з одиниці і нулів, як дріб переводити в десяткову, можна прочитати трохи нижче. Це важлива інформація, з якою обов 'язково варто ознайомитися.

Як дріб перевести в десятковий, якщо знаменник - довільне число?

Тут можливі два варіанти:

1. Коли знаменник можна уявити у вигляді числа, яке дорівнює десяти в будь-якій мірі.
2. Якщо таку операцію виконати не можна.

Як це перевірити? Потрібно розкласти знаменник на множники. Якщо у творі присутні тільки 2 і 5, то все добре, і дріб легко перетворюється на кінцеву десяткову. В іншому випадку, якщо з 'являються 3, 7 та інші прості числа, то результат буде нескінченним. Такий десятковий дріб для зручності використання в математичних операціях прийнято округлювати. Про це буде мова трохи нижче.

Вивчає, як виходять такі десяткові дроби, 5 клас. Приклади тут будуть дуже до речі.

Нехай у знаменниках знаходяться числа: 40, 24 і 75. Розкладання на прості множники для них буде таке:

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

У цих прикладах тільки перший дріб може бути представлений у вигляді кінцевого.

Алгоритм переведення звичайного дробу в кінцеву десяткову

• Перевірити розкладання знаменника на прості множники і переконатися в тому, що воно буде складатися з 2 і 5.
• Додати до цих числа стільки 2 і 5, щоб їх стала рівна кількість. Вони дадуть значення додаткового множника.
• Зробити множення знаменника і числівника на це число. В результаті вийде звичайний дріб, під межею у якого коштує 10 в деякій мірі.
• Далі діяти так, як було описано в пункті, розташованому трохи вище.

Якщо ці дії виконуються зі змішаним числом, його спочатку слід представити у вигляді неправильного дробу. А вже потім діяти за описаним сценарієм.

Подання звичайного дробу у вигляді округленого десяткового

Цей спосіб того, як дріб переводити в десятковий, комусь здасться навіть простіше. Тому що в ньому немає великої кількості дій. Потрібно лише розділити значення числівника на знаменник.

До будь-якого числа з десятковою частиною праворуч від коми можна приписати нескінченну кількість нулів. Цією властивістю і потрібно скористатися.

Спочатку записати цілу частину і поставити після неї кому. Якщо дріб правильний, то написати нуль.

Потім належить виконати поділ числівника на знаменник. Так, щоб кількість цифр у них була однаковою. Тобто приписати праворуч у числівника потрібну кількість нуль.

Виконувати поділ у стовпчик до тих пір, поки не буде набрано потрібну кількість цифр. Наприклад, якщо округлити потрібно буде до сотих, то у відповіді їх має бути 3. Загалом, цифр має бути на одну більше, ніж потрібно отримати в підсумку.

Записати проміжну відповідь після коми і округлити за правилами. Якщо остання цифра - від 0 до 4, то її потрібно просто відкинути. А коли вона дорівнює 5-9, то стоїть перед нею потрібно збільшити на одиницю, відкинувши останню.

Повернення від десяткового дробу до звичайного

У математиці зустрічаються завдання, коли десяткові дроби зручніше представити у вигляді звичайних, в яких є чисельник зі знаменником. Можна зітхнути з полегшенням: ця операція можлива завжди.

Для цієї процедури потрібно зробити наступне:

• записати цілу частину, якщо вона дорівнює нулю, то нічого писати не треба;
• провести дробову межу;
• над нею записати цифри з правої частини, якщо першими йдуть нулі, то їх потрібно закреслити;
• під межею написати одиницю з такою кількістю нуль, скільки цифр коштує після коми в первісному дробі.

Це все, що потрібно зробити, щоб перевести десятковий дріб у звичайний.

Що можна робити з десятковими дробами?

У математиці це будуть певні дії з десятковими дробами, які раніше виконувалися для інших чисел.

Ними є:

• порівняння;
• додавання і віднімання;
• множення і ділення.

Перша дія, порівняння, схоже на те, як це робилося для натуральних чисел. Щоб визначити, яке більше, потрібно порівнювати розряди цілої частини. Якщо вони виявляться рівними, то переходять до дробової і так само за розрядами порівнюють їх. Те число, де виявиться велика цифра в старшому розряді, і буде відповіддю.

Додавання і віднімання десяткових дробів

Це, мабуть, найпростіші дії. Тому що виконуються за правилами для натуральних чисел.

Так, щоб виконати додавання десяткових дробів, їх потрібно записати один під одним, розмістивши коми в стовпчик. При такому записі ліворуч від ком виявляються цілі частини, а праворуч - дробові. І тепер потрібно скласти цифри разюче, як це робиться з натуральними числами, знісши вниз кому. Починати додавання потрібно з найменшого розряду дробової частини числа. Якщо в правій половині не вистачає цифр, то дописують нулі.

При відніманні діють так само. І тут діє правило, яке описує можливість зайняти одиницю у старшого розряду. Якщо в зменшуваному дробі після коми менше цифр, ніж у відніманого, то в ньому просто приписують нулі.

Трохи складніше йде справа із завданнями, де потрібно виконати множення і ділення десяткових дробів.

Як помножити десятковий дріб у різних прикладах?

Правило, за яким проводиться множення десяткових дробів на натуральне число, таке:

• записати їх у стовпчик, не звертаючи уваги на кому;
• перемножити, як якщо б вони були натуральними;
• відокремити коми стільки цифр, скільки їх було в дробовій частині вихідного числа.

Приватним випадком є приклад, в якому натуральне число дорівнює 10 в будь-якій мірі. Тоді для отримання відповіді потрібно просто пересунути ком вправо на стільки позицій, скільки нулів в іншому множнику. Іншими словами, при множенні на 10 кома зсувається на одну цифру, на 100 - їх буде вже дві, і так далі. Якщо цифр у дробовій частині не вистачає, то потрібно записати на порожніх позиціях нулі.

Правило, яким користуються, коли в завданні потрібно зробити множення десяткових дробів на інше таке ж число:

• записати їх один під одним, не звертаючи уваги на коми;
• помножити, як якби вони були натуральними;
• відокремити коми стільки цифр, скільки їх було в дробових частинах обох вихідних дробах разом.

Приватним випадком виділяються приклади, в яких один з множників дорівнює 0,1 або 0,01 і далі. У них потрібно виконати переміщення коми ліворуч на кількість цифр у представлених множниках. Тобто якщо множиться на 0,1, то кома зсувається на одну позицію.

Як розділити десятковий дріб у різних завданнях?

Поділ десяткових дробів на натуральне число виконується за таким правилом:

• записати їх для ділення в стовпчик, як якби вони були натуральними;
• ділити за звичним правилом до тих пір, поки не закінчиться ціла частина;
• поставити у відповідь кому;
• продовжити ділення дробової складової до отримання в залишку нуля;
• якщо потрібно, то можна приписати потрібну кількість нулів.

Якщо ціла частина дорівнює нулю, то і у відповіді її теж не буде.

Окремо стоїть поділ на числа, рівні десятці, сотні і так далі. У таких завданнях потрібно пересунути кому вліво на кількість нулів у ділнику. Буває, що цифр в цілій частині не вистачає, тоді замість них використовують нулі. Можна помітити, що ця операція подібна множенню на 0,1 і подібним їй числам.

Щоб виконати поділ десяткових дробів, потрібно скористатися цим правилом:

• перетворити ділник на натуральне число, а для цього перенести в ньому ком праворуч до кінця;
• виконати переміщення коми і в ділимому на таку ж кількість цифр;
• діяти за попереднім сценарієм.

Виділяється поділ на 0,1; 0,01 та інші подібні числа. У таких прикладах кома зсувається вправо на число цифр у дробовій частині. Якщо вони закінчилися, то потрібно приписати відсутню кількість нулів. Варто зазначити, що ця дія повторює поділ на 10 і подібні до неї числа.

Висновок: вся справа в практиці

Ніщо в навчанні не дається легко і без зусиль. Для надійного освоєння нового матеріалу потрібні час і тренування. Математика не виняток.

Щоб тема про десяткові дроби не викликала труднощів, потрібно вирішувати з ними прикладів якомога більше. Адже був час, коли і складання натуральних чисел ставило в глухий кут. А тепер все нормально.

Тому, перефразовуючи відому фразу: вирішувати, вирішувати і ще раз вирішувати. Тоді і завдання з такими числами будуть виконуватися легко і невимушено, як чергова головоломка.

До речі, і головоломки спочатку вирішуються складно, а потім потрібно робити звичні рухи. Так само і в математичних прикладах: пройшовши по одному шляху кілька разів, потім вже не будеш замислюватися над тим, куди повернути.