Завдяки Ейнштейну ми знаємо, що наш тривимірний простір викривлено. А в викривленому просторі звичайні уявлення про геометрію і прямі лінії руйнуються, даючи можливість дослідити незнайомий ландшафт, керований новими правилами. Але вивчити, як фізика проявляється в викривленому просторі, дуже складно.
«З загальної теорії відносності ми знаємо, що сам Всесвіт викривлений в різних місцях», - говорить науковий співробітник JQI Алісія Коллар, яка також є професором фізики в Університеті Меріленду (UMD).
Простори, геометричні правила яких відрізняються від тих, які ми зазвичай приймаємо як належне, називаються неевклідовими. Якби ми могли дослідити неевклідове середовище, ми б виявили там загадкові пейзажі.
Простір може стискатися так, що прямі паралельні лінії сходяться разом, замість того, щоб суворо підтримувати фіксований інтервал. Або воно може розширитися так, що вони назавжди розійдуться один від одного. У такому світі чотири дороги однакової довжини, які всі з'єднані правим поворотом під прямим кутом, можуть не утворити квадратний блок, який поверне вас на вихідне перехрестя.
Ці середовища спростовують основні припущення про нормальну навігацію, і їх неможливо точно візуалізувати. Неевклідові геометрії вкрай чужі і утворюють неприродні ландшафти.
Але ці незнайомі геометричні форми - набагато більше, ніж просто далекі, потойбічні абстракції. Вчених цікавить нова фізика, яку може розкрити викривлений простір, а неевклідові геометрії можуть навіть допомогти поліпшити конструкцію деяких технологій.
Один з видів неевклідової геометрії, що представляє інтерес, - це гіперболічний простір, також званий простором з негативною кривизною. Навіть почесну фізичну версію гіперболічного простору неможливо створити в нашому нормальному, «плоскому» середовищі. Але вчені все ще можуть імітувати гіперболічне середовище, щоб дослідити, як певна фізика проявляється в негативно викривленому просторі.
У недавній статті в Physical Review A представлені нові математичні інструменти для кращого розуміння моделювання гіперболічних просторів. Дослідження засноване на попередніх експериментах з моделювання впорядкованих решіток у гіперболічному просторі за допомогою мікрохвильового світла, що міститься на мікросхемах.
Новий набір інструментів включає те, що вчені називають «словником між дискретною і безперервною геометрією», щоб допомогти дослідникам переводити експериментальні результати в більш зручну форму. За допомогою цих інструментів вчені можуть краще досліджувати перевернутий з ніг на голову світ гіперболічного простору.
Вигнутий новий світ
У пласкому просторі найкоротша відстань між двома точками - пряма лінія, а паралельні лінії ніколи не перетинаються - незалежно від їх довжини.
У викривленому просторі ці основи геометрії більше не діють. Математичні визначення плоского і вигнутого аналогічні повсякденному значенню в застосуванні до двох вимірювань. Ви можете відчути основи викривлених просторів, представивши аркуші паперу або карти.
Наприклад, поверхня земної кулі (або будь-якої кулі) є прикладом почесного позитивно викривленого простору. А якщо ви спробуєте перетворити плоску карту на глобус, то зайвий папір зморщиться, коли ви вигнете її в сферу.
Щоб отримати гладку сферу, ви повинні «втратити» зайвий простір, в результаті чого паралельні лінії в кінцевому підсумку зустрінуться, наприклад, лінії довготи, які починаються паралельно на екваторі і зустрічаються на двох полюсах. Через цю втрату ви можете думати про позитивно вигнутий простір як про менш просторий простір, ніж плоский.
Гіперболічний простір протилежний позитивно викривленому простору - просторішому простору. Гіперболічний простір вигинається від самого себе в кожній точці. На жаль, не існує гіперболічного еквівалента кулі, в який можна було б втиснути почесний лист; він буквально не впишеться в той простір, в якому ми живемо.
Найкраще, що ви можете зробити, це зробити форму сідла (або форму Прингла, за аналогією з чіпсами), в якій навколишній аркуш гіперболічно згинається від центральної точки. Зробити кожну точку на аркуші такою ж гіперболічною неможливо; немає способу продовжувати вигинати і додавати папір, щоб створити другу ідеальну сідлову точку, не збиваючи і не спотворюючи першу гіперболічну сідлову точку.
Додатковий простір гіперболічної геометрії робить її особливо цікавою, оскільки означає, що з'являється більше місця для утворення з'єднань.
Відмінності в можливих шляхах між точками впливають на те, як частинки взаємодіють і яку однорідну сітку можна створити. Використання додаткових з'єднань, які можливі в гіперболічному просторі, може ускладнити повне відрізання ділянок мережі один від одного, що може вплинути на дизайн мереж.
Оскільки фізично створити гіперболічний простір на Землі неможливо, дослідники змушені задовольнятися лабораторними експериментами, що відтворюють деякі особливості викривленого простору. Вчені раніше показали, що вони можуть моделювати однорідний почесний викривлений простір. Моделювання виконується з використанням схем, які служать дуже організованим лабіринтом для проходження мікрохвиль.
Особливістю схем є те, що мікрохвилі байдужі до форми резонаторів і залежать тільки від їх загальної довжини. Також не має значення, під яким кутом з'єднуються різні шляхи. Ці факти означають, що фізичний простір контуру можна ефективно розтягувати або стискати, щоб створити неевклидово простір - принаймні, в тому, що стосується мікрохвиль.
У своїй попередній роботі вчені змогли створити лабіринти з різними формами зигзагоподібних шляхів і продемонструвати, що схеми моделюють гіперболічний простір. Незважаючи на зручність і впорядкованість використовуваних схем, фізика, що проявляється в них, як і раніше являє собою дивний новий світ, що вимагає нових математичних інструментів для ефективної навігації.
Гіперболічні простори ставлять перед фізиками інші математичні завдання, ніж євклідові простори, в яких вони зазвичай працюють. Наприклад, дослідники не можуть використовувати стандартний фізичний трюк, що представляє решітку, що стає все менше і менше, щоб з'ясувати, що відбувається з нескінченно маленькою сіткою, яка повинна діяти як гладкий безперервний простір.
Це пов'язано з тим, що в гіперболічному просторі форма решітки змінюється разом з її розміром через викривлення простору. Нова стаття встановлює математичні інструменти, такі як словник між дискретною і безперервною геометрією, щоб обійти ці проблеми і розібратися в результатах моделювання.
За допомогою нових інструментів дослідники можуть отримувати точні математичні описи і прогнози, а не просто робити якісні спостереження. Словник дозволяє їм вивчати безперервні гіперболічні простори, навіть якщо моделювання являє собою тільки сітку. За допомогою словника дослідники можуть взяти опис мікрохвиль, що переміщуються між окремими точками сітки, і перетворити їх на рівняння, що описує плавну дифузію, або перетворити математичні суми по всіх вузлах сітки в інтеграли, що більш зручно в певних ситуаціях.
Завдяки новим інструментам, що допомагають зрозуміти результати моделювання, дослідники можуть краще відповідати на питання і робити відкриття за допомогою моделювання. Вчені кажуть, що вони оптимістично налаштовані з приводу того, що моделювання буде корисне для дослідження відповідності AdS/CFT, фізичної гіпотези для об'єднання теорій квантової гравітації і квантових теорій поля з використанням неевклідового опису Всесвіту.