Поняття про трикутну призму. Площа поверхні та об'єм фігури

Поняття про трикутну призму. Площа поверхні та об'єм фігури

Кожен школяр старших класів знає про такі просторові фігури, як куля, циліндр, конус, піраміда і призма. З цієї статті ви дізнаєтеся, що собою являє трикутна призма, і якими властивостями вона характеризується.

Яку фігуру ми розглянемо у статті?

Трикутна призма є найпростішим представником класу призм, який має меншу кількість сторін, вершин і ребер, ніж будь-яка інша подібна просторова фігура. Ця призма утворена двома трикутниками, які можуть мати довільну форму, але які повинні обов'язково бути рівні один одному і перебувати в паралельних площинах в просторі, і трьома паралелограмами, не рівними між собою в загальному випадку. Нижче наведено описану фігуру.

Як можна отримати трикутну призму? Дуже просто: слід взяти трикутник і перенести його на деякий вектор у просторі. Потім однакові вершини двох трикутників з'єднати відрізками. Так ми отримаємо каркас фігури. Якщо тепер уявити, що цей каркас обмежує суцільні сторони, то ми отримаємо зображену об'ємну фігуру.

З яких елементів складається призма, що вивчається?

Трикутна призма є багатогранником, тобто вона утворена кількома гранями, що перетинаються або сторонами. Вище було зазначено, що таких сторін у неї п'ять (дві трикутні і три чотирикутні). Трикутні сторони називаються підставами, паралелограми ж є бічними гранями.

Як і всякий багатогранник, вивчена призма має вершини. На відміну від піраміди, вершини будь-якої призми рівноправні. У трикутної фігури їх шість. Всі вони належать обом підставам. У кожній вершині перетинаються два ребра основи і одне бокове ребро.

Якщо скласти кількість вершин з числом сторін фігури, а потім відняти з отриманого значення число 2, то ми отримаємо відповідь на питання, скільки ребер має розглянута призма. Їх дев'ять: шість обмежують підстави, а решта три розділяють паралелограми між собою.

Види фігури

Наведеному в попередніх пунктах досить докладному опису трикутної призми відповідають кілька видів фігури. Розгляньмо їх класифікацію.

Вивчена призма може бути похилою і прямою. Відмінність між ними полягає в типі бічних граней. У прямій призмі вони є прямокутниками, а в похилій являють собою паралелограми загального вигляду. Нижче показано дві призми з трикутними підставами, одна з яких є прямою, а друга - похилою.


На відміну від похилої, у прямої призми всі кути двогранні між підставами і бічними сторонами дорівнюють 90 °. Що означає останній факт? Що висота трикутної призми, тобто відстань між її підставами, у прямої фігури дорівнює довжині будь-якого бокового ребра. У похилої фігури висота завжди менше довжини її будь-якого бокового ребра.

Призма з трикутною основою може бути неправильною і правильною. Якщо підстави її є трикутниками з рівними сторонами, і сама фігура є прямою, тоді вона називається правильною. Правильна призма володіє досить високою симетрією, включаючи площини відбиття і осі повороту. Для правильної призми нижче будуть наведені формули обчислення її обсягу і площі поверхні граней. Отже, по порядку.

Площа трикутної призми

Перш ніж переходити до отримання відповідної формули, наведемо розгортку правильної призми.

Ясно видно, що площу фігури можна обчислити, якщо скласти три площі однакових прямокутників і дві площі рівних трикутників з однаковими сторонами. Позначимо висоту призми буквою h, а бік її трикутної основи - буквою a. Тоді для площі трикутника S3 маємо:

S3 = √3/4 * a2

Цей вираз виходить, якщо помножити висоту трикутника на його основу, а потім результат поділити на 2.

Для площі прямокутника S4 отримуємо:


S4 = a * h

Складаючи площі всіх сторін, отримуємо повну площу поверхні фігури:

S = 2 * S3 + 3 * S4 = √3/2 * a2 + 3 * a * h

Тут перше доданок відображає площу підстав, а друге - це площа бічної поверхні трикутної призми.

Нагадаємо, що ця формула справедлива тільки для правильної фігури. У разі неправильної похилої призми розрахунок площі слід проводити поетапно: спочатку визначити площі підстав, а потім - бічної поверхні. Остання дорівнює твору бокового ребра на периметр перпендикулярного боковим граням зрізу.


Обсяг фігури

Обсяг трикутної призми обчислити можна за загальною для всіх фігур цього класу формулою. Вона має вигляд:

V = So * h

У разі призми правильної трикутної ця формула прийме наступний конкретний вид:

V = √3/4 * a2 * h

Якщо ж призма є неправильною, але прямою, тоді замість площі основи слід підставити відповідну площу для трикутника. Якщо ж призма є похилою, то, крім визначення площі основи, слід вирахувати також її висоту. Як правило, для цього застосовують тригонометричні формули, якщо відомі двогранні кути між бічними сторонами і підставами.