Метод Гаусса для вирішення матриць. Вирішення системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Ще з початку XVI-XVIII століть математики посилено почали вивчати функції, завдяки яким так багато в нашому житті змінилося. Комп 'ютерна техніка без цих знань просто не існувала б. Для вирішення складних завдань, лінійних рівнянь і функцій були створені різні концепції, теореми і методики вирішення. Одним з таких універсальних і раціональних способів і методик вирішення лінійних рівнянь та їхніх систем став і метод Гаусса. Матриці, їх ранг, детермінант - все можна порахувати, не використовуючи складних операцій.

Що являє собою СЛАУ

У математиці існує поняття СЛАУ - система лінійних алгебраїчних рівнянь. Що ж вона собою являє? Це набір з m рівнянь з шуканими n невідомими величинами, що зазвичай позначаються як x, y, z, або x1, x2... xn, або іншими символами. Вирішити методом Гаусса дану систему - означає знайти всі шукані невідомі. Якщо система має однакове число невідомих і рівнянь, тоді вона називається системою n-го порядку.

Найбільш популярні методи вирішення СЛАУ

У навчальних закладах середньої освіти вивчають різні методики вирішення таких систем. Найчастіше це прості рівняння, що складаються з двох невідомих, тому будь-який існуючий метод для пошуку відповіді на них не займе багато часу. Це може бути як метод підстановки, коли з одного рівняння виводиться інше і підставляється в початкове. Або метод поважного віднімання і додавання. Але найбільш легким і універсальним вважається метод Гаусса. Він дає можливість вирішувати рівняння з будь-якою кількістю невідомих. Чому саме ця методика вважається раціональною? Все просто. Матричний спосіб хороший тим, що тут не потрібно по кілька разів переписувати непотрібні символи у вигляді невідомих, достатньо виконати арифметичні операції над коефіцієнтами - і вийде достовірний результат.

Де використовуються СЛАУ на практиці

Рішенням СЛАУ є точки перетину прямих на графіках функцій. У наше високотехнологічне комп 'ютерне століття людям, які тісно пов' язані з розробкою ігор та інших програм, необхідно знати, як вирішувати такі системи, що вони представляють і як перевірити правильність результату. Найбільш часто програмісти розробляють спеціальні програми-обчислювачі лінійної алгебри, сюди входить і система лінійних рівнянь. Метод Гаусса дозволяє вирахувати всі існуючі рішення. Також використовуються й інші спрощені формули та методики.

Критерій сумісності СЛАУ

Таку систему можна вирішити тільки в тому випадку, якщо вона сумісна. Для зрозумілості представимо СЛАУ у вигляді Ax = b. Вона має рішення, якщо rang (A) дорівнює rang (A, b). У цьому випадку (A, b) - це матриця розширеного виду, яку можна отримати з матриці А, переписавши її з вільними членами. Виходить, що вирішити лінійні рівняння методом Гаусса досить легко.

Можливо, деякі позначення не зовсім зрозумілі, тому необхідно розглянути все на прикладі. Припустимо, є система: x+y=1; 2x-3y=6. Вона складається всього з двох рівнянь, в яких 2 невідомі. Система буде мати рішення тільки в тому випадку, якщо ранг її матриці буде дорівнювати рангу розширеної матриці. Що таке ранг? Це число незалежних рядків системи. У нашому випадку ранг матриці 2. Матриця А буде складатися з коефіцієнтів, що знаходяться біля невідомих, а в розширену матрицю вписуються і коефіцієнти, що знаходяться за знаком "=".

Чому СЛАУ можна уявити в матричному вигляді

Виходячи з критерію сумісності за доведеною теоремою Кронекера-Капеллі, систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна уявити в матричному вигляді. Застосовуючи каскадний метод Гаусса, можна вирішити матрицю і отримати єдину достовірну відповідь на всю систему. Якщо ранг звичайної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці, але при цьому менше кількості невідомих, тоді система має нескінченну кількість відповідей.

Перетворення матриць

Перш ніж переходити до вирішення матриць, необхідно знати, які дії можна проводити над їх елементами. Існує декілька елементарних перетворень:

• Переписуючи систему в матричний вигляд і здійснюючи її рішення, можна множити всі елементи ряду на один і той же коефіцієнт.
• Щоб перетворити матрицю на канонічний вигляд, можна міняти місцями два паралельних рядки. Канонічний вигляд передбачає, що всі елементи матриці, які розташовані по головній діагоналі, стають одиницями, а решта - нулями.
• Відповідні елементи паралельних рядків матриці можна додавати один до іншого.

Метод Жордана-Гаусса

Суть вирішення систем лінійних однорідних і неоднорідних рівнянь методом Гаусса в тому, щоб поступово виключити невідомі. Припустимо, у нас є система з двох рівнянь, в яких дві невідомі. Щоб їх знайти, необхідно перевірити систему на сумісність. Рівняння методом Гаусса вирішується дуже просто. Необхідно виписати коефіцієнти, що знаходяться біля кожного невідомого в матричний вигляд. Для вирішення системи знадобиться виписати розширену матрицю. Якщо одне з рівнянь містить меншу кількість невідомих, тоді на місце пропущеного елемента необхідно поставити "0". До матриці застосовуються всі відомі методи перетворення: множення, поділ на число, додавання відповідних елементів рядків один до одного та інші. Виходить, що в кожному ряду необхідно залишити одну змінну зі значенням "1", інші привести до нульового вигляду. Для більш точного розуміння необхідно розглянути метод Гаусса на прикладах.

Простий приклад вирішення системи 2х2

Для початку візьмемо простеньку систему алгебраїчних рівнянь, в якій буде 2 невідомих.

Перепишемо її в розширену матрицю.

Щоб вирішити цю систему лінійних рівнянь, потрібно виконати лише дві операції. Нам необхідно привести матрицю до канонічного вигляду, щоб по головній діагоналі стояли одиниці. Так, переводячи з матричного вигляду назад в систему, ми отримаємо рівняння: 1x + 0y = b1 і 0x + 1y = b2, де b1 і b2 - отримані відповіді в процесі рішення.

6. Далі приведемо до канонічного вигляду другий рядок. Для цього елементи третього ряду множимо на -3 і додаємо їх до другої сходинки матриці. З результату видно, що другий рядок теж приведений до необхідної нам форми. Залишилося виконати ще кілька операцій і прибрати коефіцієнти невідомих з першого рядка.
7. Щоб з другого елемента рядка зробити 0, необхідно помножити третій рядок на -3 і додати його до першого ряду.
8. Наступним вирішальним етапом буде додавання до першого рядка необхідні елементи другого ряду. Так ми отримуємо канонічний вигляд матриці, а, відповідно, і відповідь.

Як видно, рішення рівнянь методом Гаусса досить просте.

Приклад розв "язання системи рівнянь 4х4

Деякі складніші системи рівнянь можна вирішити методом Гаусса за допомогою комп 'ютерних програм. Необхідно вбити в існуючі порожні комірки коефіцієнти при невідомих, і програма сама покроково розрахує необхідний результат, детально описуючи кожну дію.

Нижче описана покрокова інструкція рішення такого прикладу.

• У першій дії в порожні комірки вписуються вільні коефіцієнти і числа при невідомих. Таким чином, виходить така ж розширена матриця, яку ми пишемо вручну.
• Далі змінюються всі рядки місцями, щоб можна було висловити по головній діагоналі поодинокі елементи.
• І виконуються всі необхідні арифметичні операції, щоб привести розширену матрицю до канонічного вигляду. Необхідно розуміти, що не завжди відповідь на систему рівнянь - це цілі числа. Іноді рішення може бути з дробових чисел.

Перевірка правильності рішення

Метод Жордана-Гаусса передбачає перевірку правильності результату. Для того щоб дізнатися, чи правильно пораховані коефіцієнти, необхідно всього-на-всього підставити результат в початкову систему рівнянь. Ліва сторона рівняння повинна відповідати правій стороні, що знаходиться за знаком "" одно "". Якщо відповіді не збігаються, тоді потрібно перераховувати заново систему або спробувати застосувати до неї інший відомий вам метод рішення СЛАУ, такий як підстановка або поважна віднімання і додавання. Адже математика - це наука, яка має величезну кількість різних методик вирішення. Але пам 'ятайте: результат повинен бути завжди один і той же, незалежно від того, який метод рішення ви використовували.

Метод Гаусса: найбільш часто зустрічаються помилки при вирішенні СЛАУ

Під час вирішення лінійних систем рівнянь найчастіше виникають такі помилки, як неправильне перенесення коефіцієнтів у матричний вигляд. Бувають системи, в яких відсутні в одному з рівнянь деякі невідомі, тоді, переносячи дані в розширену матрицю, їх можна втратити. У результаті при вирішенні даної системи результат може не відповідати дійсному.

Ще однією з головних помилок може бути неправильне виписування кінцевого результату. Потрібно чітко розуміти, що перший коефіцієнт буде відповідати першому невідомому з системи, другий - другому, і так далі.

Метод Гаусса докладно описує вирішення лінійних рівнянь. Завдяки йому легко провести необхідні операції і знайти вірний результат. Крім того, це універсальний засіб для пошуку достовірної відповіді на рівняння будь-якої складності. Можливо, тому його так часто використовують при вирішенні СЛАУ.